La homotecia es la transformación de una figura en el plano, a partir de un punto (centro) y una constante (razón de homotecia), que puede ser positiva (homotecia directa) o negativa (homotecia inversa).

     La homotecia es otra forma de obtener figuras a escala. Bastará con multiplicar la medida del centro de homotecia al punto seleccionado de la figura real por la escala propuesta; el resultado, es la distancia que deberá medirse del centro al punto homotético correspondiente.

  

 FIGURAS HOMOTÉTICAS

El triángulo A´B´C´ se obtuvo del triángulo ABC mediante la siguiente transformación:

  1. Se inició con el triángulo ABC.

  2. Se escogió un punto O del plano.

  3. Se trazaron semirrectas: ,  y .

  4. Se escogió un valor K = 3

  5. Con el compás se tomó la medida  y comenzando en O, se tomó tres veces esa distancia para localizar B’.
    Se cumple  = 3 (
     ).

  6. Se hizo lo mismo con A y C, de tal manera que:  = 3 (   ) y  = 3 (   ).

  7. Se unieron los puntos A´, B´ y para formar el triángulo A´B´C´.

     Los triángulos ABC y A´B´C´ son homotéticos y la transformación que se hizo recibe el nombre de homotecia con centro en O y razón de homotecia K = 3.

     Para demostrar que los triángulos homotéticos OAB y OA´B´ son semejantes:

     Los triángulos OAB y O A´B´ tienen un ángulo igual, de hecho es el mismo, y dos de sus lados son proporcionales:

     Según el criterio LAL (dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente iguales las medidas de dos lados y del ángulo que forman), los triángulos son semejantes por lo que también los otros lados cumplen con la razón de semejanza:

     Razonando de manera parecida se obtiene:

 

     Y los  ABC y A’B’C’ son semejantes:

     ¿Cómo se obtuvo el P’Q’R a partir del PQR?

     El triángulo P´Q´R´ se obtuvo a partir del triángulo PQR, de la siguiente manera:

  1. Se comenzó con el PQR.

  2. Se escogió un punto O del plano.

  3. Se trazaron rectas  y , prolongándolas en el sentido contrario de donde se encuentra el triángulo.

  4. Se escogió un valor K = 1

  5. Con el compás se tomó la medida del lado  y se llevó desde O en sentido contrario para localizar el punto P’.
    Se cumple = -.

  6. Igual se hizo con los puntos Q y R para obtener los puntos Q´R´ tales que:

  7. Se hizo unieron los puntos P´Q´ y para formar el triángulo P´Q´ y R´.

     Los elementos correspondientes de figuras homotéticas reciben el nombre de elementos homólogos.

      y   son lados homólogos de los cuadriláteros homotéticos.

     D y son vértices homólogos.

     El ángulo ADC y el ángulo A’D’C’ son ángulos homólogos.


Relación entre los lados homólogos de figuras homotéticas

El centro de homotecia O también puede estar en el interior de una figura que se desea transformar.

1. Se traza un polígono de 5 lados y vértices A, B, C, D y E.

2. Enseguida se elige un punto O interior como centro de homotecia.

3. La razón de homotecia será K = 2.5.

4. Se trazan semirrectas desde O a cada uno de los vértices A, B, C, D y E.

5. Sobre la semirrecta se localiza el punto A’ de tal manera que:

 = 2.5 (   )

6. De manera semejante se localizan los puntos B’, C’, D’ y E’ sobre las semirrectas , de tal manera que:

7. Se traza el polígono de lados .

8. Los polígonos ABCDE y A´B´C´D´E´ son homotéticos, con centro en O y razón de homotecia
    K = 2.5.


Figuras con centro de homotecia O a uno de los vértices de la figura que se pretende transformar.

     Se usará el vértice A como centro de homotecia para transformar el polígono ABCDEFG, usando una razón de homotecia K = 2.8.

  1. 1. Se traza el polígono ABCDEFG.

  2. 2. Se elige el vértice A como centro de homotecia.

  3. 3. Se trazan semirrectas con origen A y que pasen respectivamente por B, C, D, E, F y G.

4. Se mide el segmento  y su longitud se multiplica por
    K = 2.8, se localiza el punto B’ sobre la semirrecta AB de tal
   manera que ´ = 2.8 (  ).

5. De manera semejante se localizan los puntos C’, D’, E’, F’, G’ sobre las semirrectas
   , respectivamente y de tal manera que:

  1. Se traza el polígono AB´C´D´E´F´G´.

 

 

 

 

 

 

contenido: figuaras homoteticas