ÁNGULOS

Ángulo es el desplazamiento que produce una recta al girar sobre uno de sus puntos.

     Ángulo es la abertura entre dos rectas que se cortan en un punto llamado vértice.

     La unidad que se utiliza para medir ángulos se llama grado. Un grado es 1/360 parte de una vuelta completa, esto significa que una vuelta completa es igual a 360 grados.

     Ejemplo:

     Se traza una circunferencia y con el transportador se señalan tres ángulos con estas medidas: 70º, 150º y 270º. Es necesario recordar que a partir del origen se debe trazar en el sentido contrario a las manecillas del reloj.

     La medida del ángulo corresponde al desplazamiento que hay entre sus lados.

     La longitud de sus lados (rectas) nada tiene que ver con la medida del ángulo.

Múltiplos y submúltiplos de los grados

Un submúltiplo del grado es el minuto. Un minuto equivale a 1/60 de un grado, esto es:

= 60’ (un grado es igual a 60 minutos)

     Un submúltiplo del minuto es el segundo, que corresponde a 1/60 de un minuto, esto es:

1º = 60’ (un minuto es igual a 60 segundos)

     Ejemplos:

     Si 1º equivale a 60’

     5º = 300’ porque 5 x 60 = 300

     En 15 ‘ ¿cuántos segundos habrá? 900 porque 15 x 60 = 900

     Para convertir 1 800 segundos en minutos se divide 1800 entre 60 que es la cantidad de segundos que tiene un minuto. Así se obtiene 30’.

 

 

 USO DEL TRANSPORTADOR

Para medir un ángulo se utiliza un instrumento de medición llamado transportador.

     La marca intermedia de la base del transportador debe coincidir con el vértice (O) del ángulo, y la marca de 0º con uno de los lados del ángulo.

     El punto de la escala donde coincide el otro lado del ángulo con el transportador es la lectura de la medida del ángulo.

     La recta horizontal que está marcada en el transportador puede tener el valor de 180º o 0º, respetando el sentido inverso a las manecillas del reloj.

     Ejemplo:

     Calculemos la medida del ángulo MON.

     Primero trazaremos las líneas auxiliares (a modo de plano cartesiano) utilizando como dentro el vértice del ángulo.

     Después colocamos el transportador con el centro del plano cartesiano y se cuentan los grados que abarca el ángulo trazado.

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 CLASIFICACIÓN DE ÁNGULOS

De acuerdo con su abertura, un ángulo es:

Agudo: Si mide más de 0º y menos de 90º.

Recto: Si mide 90º.

Obtuso: Si es mayor de 90º y menor de 180º.

Llano: Si mide 180º.

Entrante: Si mide más de 180º y menos de 360º.

Perigonal: Si mide 360º.

     De acuerdo con su suma, los ángulos se clasifican de la siguiente manera.

     Complementarios: Dos ángulos que suman 90º.

     Suplementarios: Dos ángulos cuya suma es 180º.

     Conjugados: Dos ángulos que suman 360º.

     Para determinar el ángulo complementario, suplementario y conjugado de otro ángulo, basta con hacer una sustracción o bien una conversión.

     Ejemplo:

     Para encontrar el complemento del ángulo a = 72º

     Entonces 72 º + b = 90º

     Por tanto: b = 90º - 72º

     b = 18º

     Ejemplo 2:

     < b = 42º 31’

     Convertimos 90º = 89º 60’

     Por tanto, 42º 31’ + a = 90º

     Convertimos 90º = 89º 60’

     Para convertir es importante recordar que:

     90º = 89º + 1º

     Como 1º = 60’

     entonces 90º = 89º + 60’

     90º = 89º 60’

     < b = 45º 38’

     tenemos 45º38’ + a = 90º

     Convertimos 89º 60’

     Por tanto 45º 38’ + a = 89º 60’

     a = 89º 60’ - 45º 38’ = 44º 28’ =

     a = 44º 28’

     Para encontrar el suplemento de un ángulo, se realiza el siguiente procedimiento:

     < m = 142º

 

     Tenemos: 142º + n = 180º

     Por tanto n = 180º - 142

     n = 38º

     Ejemplo: < m = 110º55’ + m = 180º

     Convertimos 180º = 179º60’

     Por tanto, 1º10º55’ + m = 180º

     m = 179º 60’ - 110º55’

     m = 69º05’

     Para hallar la medida del ángulo conjugado se sigue este procedimiento:

     < r = 178º

     Tenemos 178º + s = 360º

     Por tanto s = 360º - 178º

     s = 182º

     Ejemplo:

     < m = 162º

     tenemos 62º + m = 360

     Por tanto m = 360º - 162º

     m = 198º

Bisectriz de un ángulo

Para encontrar la bisectriz de un ángulo sigue este procedimiento:

     1. Apoya el compás en el vértice y traza un arco (cualquier abertura) que corte los dos lados del ángulo.

     2. Con la misma abertura del compás u otra mayor, apóyate en las intersecciones y traza un arco hacia el interior del ángulo.

     3. Une el vértice con el punto de intersección de los arcos. La recta que trazaste es la bisectriz.

     Se le llama bisectriz a la línea recta que divide un ángulo en dos ángulos iguales.

     Ejemplo: Tracemos la bisectriz del ángulo E:

     1. Abre tu compás con una abertura que corte los rayos del ángulo pero sin salirse de ellos.

     2. Apoya el compás en el vértice y traza en ambos rayos o segmentos un arco que los corte.

     3. Apoya el compás nuevamente, con la misma abertura, en las marcas que hiciste y encuentra la mediatriz de este ángulo.

 

 

 POLÍGONOS REGULARES

Los polígonos regulares tienen todos sus lados y ángulos iguales. Los irregulares no cumplen alguna o las dos condiciones.

     Ejemplos de polígonos regulares son el pentágono, el triángulo, el octágono y el dodecágono.

     El procedimiento para trazar estas figuras es el siguiente:

     1. Se traza un círculo que equivale a 360º, y según el número de lados que tenga la figura se divide entre dicho número. Por ejemplo, si es un pentágono se divide entre 5; si es un hexágono, entre 6; un octágono entre 8 y así sucesivamente.

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     2. En el caso del pentágono, se obtuvo que cada lado debe medir 72º, así que se trazarán los siguientes puntos cada 72º:

     72º, 144º, 216º, 288º y 360º

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     Para medir se coloca el transportador en el centro del círculo como se indica.

     3. Para localizar los puntos que miden 216º y 288º, se coloca el transportador en la parte restante del círculo y se cuentan los grados a partir de las marcas que ya se hicieron.

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     4. Con esta medida se podrán trazar los puntos que miden 216º y 288º, respectivamente.

     5. Entonces, se unen los puntos con líneas.

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     Otro ejemplo es el triángulo:

     1. Se traza un círculo y el diámetro respectivo:

     2. Se divide el total de grados (360º) entre 3 (porque el número de vértices de esta figura son tres). El resultado es: 120º.

 

     3. Entonces se procede a medir con el transportador y localizar los puntos: 120º, 240º y 360º, respectivamente.

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     4. Finalmente se unen los puntos con líneas rectas y listo.

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