Una de las curiosidades matemáticas más comunes es el observar líneas que engañan al ojo humano, pues hacen dudar sobre si son o no paralelas o perpendiculares.

Para evitar que te tomen por sorpresa, observa de qué manera puedes identificar una perpendicular o una paralela de las que no lo son.

PERPENDICULARES

Dos rectas son perpendiculares cuando forman entre sí ángulos rectos (90º).

Para trazar rectas perpendiculares, pueden presentarse las siguientes situaciones:

  1. Desde un punto exterior a la recta, trazar una perpendicular a ella.

  2. Desde un punto dado perteneciente a una recta, trazar una perpendicular a ella.

Primera situación

Desde un punto exterior a una recta, trazar una perpendicular a ella.

Con el compás apoyado en el punto P y abierto a una longitud mayor que la distancia la recta r. Traza un arco que corte la recta en dos puntos. Identifícalos como A y B.

Apoyando el compás en los puntos A y B, con la misma abertura (o con otra mayor que la mitad del segmento AB), traza arcos debajo del segmento AB.

Los arcos se cortan en un punto (P’). Al unir los puntos P y P’ resulta la perpendicular a la recta r y pasa por el punto P.

En la segunda situación

Dados una recta y un punto perteneciente a ella, trazar una perpendicular que pase por dicho punto.

Con el compás apoyado en el punto P se traza un arco que corte a la recta r en dos puntos, y se le asignan dos letras para identificarlos.

Apoyando el compás en los puntos A y B, con una abertura mayor del compás, trazamos arcos hacia un mismo lado de la recta.

Los arcos se cortan en el punto P’. Al unir P y P’ resulta una perpendicular a la recta r que pasa por P.

Para ejercitar el tema, trazaremos una perpendicular a la siguiente recta desde el punto P, pero hacia abajo.

Paso 1. Abriendo el compás apoyándote en el punto P, de manera que rebase la recta a, se trazan dos arcos que corten dicha recta. Estos puntos se llamarán M y N.

Paso 2. Con el compás se toma la distancia que hay entre los puntos M y N.

Paso 3. Apoyándose en cada uno de esos puntos se trazan dos arcos y se encuentra el punto P’.

PARALELAS

Dos rectas son paralelas si no se cortan en el plano y siempre están separadas a la misma distancia.

Desde un punto exterior a una recta sólo puede trazarse una paralela a la recta y sólo una.

Si por M trazamos una infinidad de rectas, solamente habrá una que sea paralela a la recta.

Para trazar paralelas puede seguirse el siguiente procedimiento:

Se traza con regla una recta (asignándosele dos letras para identificar los puntos) así como un punto P fuera de ella.

Apoyando el compás en P, se abre a una distancia que rebase a la recta. Se traza un arco que corte la recta en un punto y se le asigna una letra para identificarlo.

Sin modificar la abertura del compás, se apoya éste en el punto M y se traza un arco que corte la recta (el arco debe pasar por P). También se le asigna una letra.

Con el compás se mide la distancia entre N y P, pero sin hacer el trazo.

Después se traslada la distancia NP al otro arco. Se apoya el compás en el punto M, se traza otro arco y se le asigna la letra P’.

Por último se unen los puntos P y P’ con una línea. De esta forma la recta PP’ es la paralela a la recta AB (PP’//AB).

Para ejercitar el tema, tracemos nuevamente una paralela a la siguiente recta que pase por el punto señalado.

Ejemplo:

Se abre el compás a una distancia que rebase a la recta AB, se traza un arco que corte la recta. A este punto se le llamará R. El arco debe trazarse a la altura de P.

Con la misma abertura del compás, se traza un segundo arco apoyándolo en el punto R de manera que corte la recta y pase por punto P.

Con el compás se mide la abertura entre los puntos P y Q y con esta distancia se coloca el compás en el punto R y se traza un arco. Este punto se denominará P’.

TRIÁNGULOS

Los triángulos son figuras formadas por seis elementos: 3 lados y 3 ángulos. Por eso, cuando se desea clasificarlos se hace en función de sus lados o de sus ángulos.

En función de sus lados, los triángulos se clasifican en:

Triángulo equilátero. Sus tres lados tienen la misma medida.

Triángulo isósceles. Dos de sus lados tienen la misma medida.

Triángulo escaleno. Sus lados tienen diferente medida.

En función de sus ángulos, se clasifican en:

Triángulo acutángulo. Sus 3 ángulos son agudos (menores de 90º).

Triángulo rectángulo. Tiene un ángulo recto (90º).

Triángulo obtusángulo. Tiene un ángulo obtuso (mayor de 90º).

Para construir un triángulo es necesario conocer los tres elementos que lo constituyen. Estos requerimientos dan lugar a tres posibilidades para que, al manejar los datos, se obtengan figuras iguales.

En caso de que se tengan dados tres lados, se construye el triángulo con ellos.

Se coloca un segmento como base. Si los tres lados son de diferente medida, se toma el mayor, si dos lados son grandes, se elige el menor.

Después, con el compás se toma la medida de otro lado y, apoyando el compás en uno de los extremos de la base, se traza un arco arriba de ésta.

Se repite el procedimiento en el otro lado, se mide con el compás y se traza un arco desde el otro extremo de la base.

Finalmente se unen los extremos de la base con el punto donde se cruzan los arcos.

En los triángulos las alturas son perpendiculares y van de cada uno de los vértices al lado opuesto:

RECTÁNGULOS

Los rectángulos pueden ser de dos tipos:

  1. Los llamados cuadrados, por tener cuatro lados iguales.

  2. Los conocidos en general como rectángulos, por tener dos lados largos e iguales, y dos lados cortos también iguales.

Para construir un cuadrado de 4 cm por lado, se siguen las siguientes indicaciones.

Se traza un segmento de recta de 4 cm (como base).

De cada extremo de la base, se levanta una perpendicular (con la escuadra acomodada como se observa en la figura).

Se mide sobre cada perpendicular 4 cm.

Se unen las perpendiculares medidas y hemos trazado un cuadrado.

Para construir un rectángulo se sigue un proceso similar al del cuadrado.

Por ejemplo, para trazar un rectángulo cuyo lado mayor mida 10 cm y su lado menor 5 cm:

Se toma como base el lado mayor.

Se levanta una perpendicular en cada extremo de la base.

Se mide una altura de 5 cm.

Se unen las líneas y listo.

CIRCUNFERENCIAS

La circunferencia es la línea curva que encierra al círculo.

El círculo es la superficie limitada por la circunferencia.

En ocasiones, los términos círculo y circunferencia se usan indistintamente porque no existe el uno sin el otro. Pero ahora ya conoces cuál es la diferencia.

La distancia que hay del centro del círculo a la circunferencia recibe el nombre de radio, y la distancia que hay de un punto de la circunferencia a otro, pasando por el centro, se llama diámetro. Esto significa que el diámetro es lo doble que el radio.

Ejemplo:

Si se tiene un diámetro de 6.4 cm, se divide entre 2 este número para obtener el radio. El resultado es 3.2 cm.

Después, se abre el compás a esta distancia y se traza la circunferencia.

Es importante recordar que teniendo la medida del diámetro o el radio puede trazarse cualquier circunferencia.

Por ejemplo, si se tiene un radio de 3 cm, al trazar la circunferencia, el diámetro deberá medir 6 cm, es decir, el doble que el radio.

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