En todas las épocas de la historia, el hombre ha tenido la necesidad de registrar datos y hacer conteos. Para ello ha elaborado sistemas de numeración, con el propósito de representar mediante la escritura grupos de elementos (frutas, personas, ganado, propiedades, etcétera).

     Para desarrollar un sistema de numeración es necesario establecer las reglas y los símbolos (o numerales) que se utilizarán.

  Algunos ejemplos de sistemas antiguos de numeración fueron desarrollados por las culturas egipcia, babilonia, romana, azteca y maya.

 

 

 SISTEMA EGIPCIO

Símbolos y valor correspondiente

 

Características del sistema de numeración egipcio:

  1. Agrupamientos de 10 en 10 (sistema decimal).

Como puedes observar, después de la unidad, los valores de los símbolos se obtienen multiplicando 10 por sí mismo varias veces. Es un sistema de base 10.

  • Uso del principio aditivo.

Consiste en que, al escribir dos o más símbolos juntos, se suman los valores asignados a cada símbolo.

  • No se utiliza un principio de posición.

    No consideraban la posición de los símbolos, es decir, los símbolos de una cantidad podían ser escritos de derecha a izquierda o de izquierda a derecha.

         Las reglas para representar una cantidad en este sistema son:

    a) Cada símbolo puede repetirse hasta nueve veces.

    b) Si un símbolo debe escribirse más de cuatro veces, entonces no debe escribirse en una sola línea sino en dos o más renglones.

    Por ejemplo:

    1. Para representar 1 214, separa el número en sus unidades y en grupos de 10 en 10 (decenas, centenas, unidades de millar, etc.). Es decir:

      1 214 = 1 000 + 100 + 100 + 10 + 1 + 1 + 1 + 1

    2. Escribe los símbolos correspondientes a cada valor:

         En este caso, se escribieron de izquierda a derecha, pero podría ser a la inversa. La vara y la cuerda ocupan dos renglones.

    ¿Qué número es éste?

    1. Observa cuántos símbolos hay y cuál es su valor. La ilustración muestra:

    1 pez (100 000), 2 flores (1 000 cada una), 2 cuerdas (100 cada una) y 2 varas.

    2. Suma los valores que encontraste:

    100 000 + 1 000 + 1000 + 100 + 100 + 1 + 1 = 102 202

     

     

     

     SISTEMA BABILONIO

    Los babilonios escribían los números en tablillas de arcilla. Hacían marcas con forma de cuñas y por eso se dice que su sistema empleaba una escritura cuneiforme.

    Símbolos y valor correspondiente. Utilizaban dos tipos de cuñas:

         Y para representar el 100, empleaban un símbolo compuesto:

    Características del sistema de numeración babilonio

    1. Agrupamientos de 10 en 10 y de 60 en 60.

    Emplearon base diez (sistema decimal) combinada con base sesenta (sistema sexagesimal).

    • Uso del principio aditivo.

    El valor total se obtenía sumando el valor de cada símbolo que aparecía en un numeral.

    • Uso del principio posicional.
    1. Los símbolos de mayor valor se escribían a la izquierda de los de menor valor.

           En el sistema decimal babilonio, las reglas para representar una cantidad son las siguientes:

      1. La cuña con valor 1 se podía repetir hasta un total de nueve veces.

      2. Cuando se repiten símbolos se suman sus valores. A la izquierda se escriben los símbolos mayores.

        Por ejemplo:

        Equivalencia: 10 + 2 = 12

        Equivalencia: 20 + 5 = 25

      3. Para representar órdenes superiores a 100 se usaba la multiplicación por 10, escribiendo separada una cuña de este valor, a la izquierda de la cantidad multiplicada.

           Por ejemplo, para escribir 1 000, se anota primero el 100 y a la izquierda una cuña con valor 10 que multiplique al 100:

      10 x 100 = 1 000

      Y 10 000 sería:

      10 x 1 000 = 10 000

           Sin embargo, estas combinaciones no se usaban con mucha frecuencia. Con el paso de los años y con el progreso, los babilonios usaron el sistema sexagesimal (de base sesenta).

           Los números menores de sesenta se escribían en el sistema decimal. Los números mayores de sesenta se escribían anotando las cuñas 1 o 10 en distintos lugares a la izquierda. Cada lugar a la izquierda representaba una potencia distinta de 60. Las cuñas indicaban cuántas veces debían multiplicarse cada potencia de 60.

           Podemos representar este sistema sexagesimal con varias casillas:

           En esta tabla se representó el número 3 661 porque hay una cuña de valor 1 en cada casilla, lo cual equivale a:

      1 x 3 600 + 1 x 60 + 1 = 3 600 + 60 + 1 = 3661

           También puede escribirse más de una cuña por casilla. En ese caso, se suma primero el valor total de las cuñas y luego se multiplica por la potencia correspondiente.

           Intenta resolver los siguientes ejemplos antes de ver las respuestas. ¿Cuál es el valor de los siguientes numerales?

      Respuestas:

      1. En este caso, tenemos:

      3 x 601 + 10 = 3 x 60 + 10 = 180 + 10 = 190

      2. El segundo número es:

      3 x 602 + 12 x 601 + 30 = 3 x 3 600 + 12 x 60 + 30 = 10 800 + 720 + 30 = 11 550

           En la segunda casilla se suma primero 10 + 2 = 12 y después se multiplica por la potencia correspondiente.

           El sistema sexagesimal se usa actualmente en la medición de ángulos (grados, minutos y segundos) y del tiempo (horas, minutos y segundos).

           La medida angular de la circunferencia es equivalente a un arco que mide 360°.

      360° = 60° x 6

      1 grado = 60 minutos: 1° = 60’

      1 minuto = 60 segundos: 1’ = 60’’

      La unidad de tiempo es la hora.

      1 hora = 60 minutos

       

      1 minuto = 60 segundos

       

           Es posible efectuar sumas con medidas angulares siguiendo estos pasos:

      1. Alinea cada unidad con las que le corresponden y efectúa la suma de manera normal.

      1. Verifica el resultado para comprobar si debes transformar alguna de las unidades a su inmediata superior. Por ejemplo:

         En este caso, 83’’ puede convertirse a minutos, porque 60 = 1.
      2. Efectúa una resta para saber cuántos segundos quedarán al hacer la conversión:

        83’’ – 60’’ = 23’’ Entonces, 83’’ = 1’ 23’’

      3. Agrega el minuto que obtuviste a los minutos en el primer resultado y deja los segundos restantes de la conversión:

      Resultado: 61° 54’ 83’’ = 61° 55’ 23’’

       

       

       

       SISTEMA ROMANO

      Símbolos y valor correspondiente

      Primarios

      Secundarios

      I X C M

      1 10 100 1 000

      V L D

      5 50 500

       

      Características del sistema de numeración romano

      Agrupamientos de 10 en 10.

      Emplearon el sistema decimal (base 10).

      1. Uso del principio aditivo.

      Sumaban el valor de cada símbolo para obtener el valor total.

      • Uso del principio sustractivo.

      Cuando un símbolo primario aparece a la izquierda de otro y este último es su inmediato superior, ya sea un símbolo primario o secundario, al de mayor valor se le resta el menor.

      • Uso del principio multiplicativo
      1. Se coloca una barra encima de los símbolos para representar que su valor se multiplica por 1 000.

             Es frecuente ver los números romanos en fechas de aniversario o en las carátulas de relojes. Por ser éste un sistema que aún empleamos, analizaremos sus principios ordenadamente.

        Principio aditivo

        • Cada símbolo primario puede repetirse hasta tres veces. Por ejemplo, I sirve para representar los números del 1 al 3:

        I = 1             II = 2           III = 3

             Pero el 4 no es IIII sino que debe ser formado combinando dos símbolos: IV.

        • Los símbolos son colocados de izquierda a derecha, del mayor al menor.
        • La suma de los símbolos representa el valor del numeral. Por ejemplo:

         

        MCCXVI equivale a 1 000 + 100 + 100 + 10 + 5 + 1 = 1 216

        Principio sustractivo

             Este principio consiste en que, si un símbolo primario se encuentra a la izquierda de otro símbolo (sea primario o secundario) y este último es su inmediato superior, se debe efectuar una resta para obtener el valor del numeral: el símbolo mayor menos el menor.

        Ejemplos:

        IV equivale a 5 – 1 = 4

        IX equivale a 10 – 1 = 9

        XL equivale a 50 – 10 = 40

        XC equivale a 100 – 10 = 90

        CD equivale a 500 – 100 = 400

        CM equivale a 1 000 – 100 = 900

        Éstas son todas las sustracciones que se realizan en el sistema romano. Sólo en estos ejemplos puede escribirse un símbolo menor a la izquierda de otro mayor, porque la regla es que el número mayor siempre se escribe a la izquierda de los menores.

        Principio multiplicativo

        Ocurre cuando al colocar una línea horizontal encima del numeral, éste multiplica su valor por 1 000.

        Ejemplos:

        Realicemos algunas conversiones de numerales romanos a nuestra numeración o viceversa:

        ¿Qué número es MCMXCIII? Pasos a seguir:

        a) Separa los numerales romanos tomando en cuenta los principios aditivo y sustractivo. La separación quedaría así:

        M CM XC III

             Primero tenemos la M sola, que es la cifra mayor y se escribe al inicio. Después hay dos cifras formadas por el principio sustractivo (un símbolo primario se encuentra a la izquierda de otro símbolo mayor que él). Y finalmente hay otra cifra formada por el principio aditivo (tres números uno).

        b) Sustituye cada símbolo con su valor y efectúa las sumas y restas que sean necesarias:

        ¿Cómo se escribe 18 399 en el sistema romano? Pasos a seguir:

        a) Expresa en notación desarrollada el número, es decir, escribe las unidades, decenas, centenas, etcétera, que lo forman:

        18 399 = 10 000 + 8 000 + 300 + 90 + 9

        b) Comienza a sustituir cada cantidad por símbolos romanos. En primer lugar, hay que simbolizar las unidades de millar, que son los números mayores. Pero no es posible emplear 18 símbolos con valor de 1 000 (M) para representar el 18 000. Aplica el principio multiplicativo: escribe 18 con una línea encima para obtener 18 x 1000:

        18 000 = 18 x 1000 = XVIII

        c) Sustituye las demás cantidades. Observa cuáles necesitan aplicar el principio sustractivo:

         

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